Penalaran Matematika

Karena Budiman berada di urutan ke-16 dari atas dan juga dari bawah maka:

• ada 15 orang yang nilainya di atas Budiman
• ada 15 orang yang nilainya di bawah Budiman

Maka banyak siswa di kelas itu adalah $15 + 15 + 1$ = 31 orang (B).

Uang yang disiapkan = Rp 200 miliar.

• Kebun = Rp 20 miliar.
• Ruko = $2 \times$ Rp 5 miliar = Rp 10 miliar
• Hotel = $5 \times$ Rp 25 miliar = Rp 125 miliar
• Total = Rp 155 miliar

Sisa = Rp 200 miliar - Rp 155 miliar Sisa = Rp 45 miliar (C)

Undangan:

• Wanita = 50 orang
• Pria = 70 orang
• Total = 120 orang

Hadir:

• Wanita = $40\% \times 50$ orang = 20 orang
• Pria = $50\% \times 70$ = 35 orang
• Total = 55 orang

Persentase tamu yang hadir = 55 dari 120 atau sekitar $46\%$ (E).

Jumlah 47 orang dan 9 orang, jika kita tuliskan dalam bentuk matematis menjadi: $47 + 9 = 56$ orang (B)

$20\%$ dari $x$ adalah $2a$, jika dituliskan dalam bentuk matematis menjadi: $20\% \cdot x = 2a$ $0,2x = 2a$ $2a = 0,2x$ $a = 0,1x$

$45\%$ dari $x$ adalah $\frac{1}{2} b$, jika dituliskan dalam bentuk matematis menjadi: $45\% \cdot x = 0,5b$ $0,45x = 0,5b$ $0,5b = 0,45x$ $5b = 4,5x$ $b = 0,9x$

$a + b$ dari $x$ berarti: $0,1x + 0,9x$ dari $x$ $1x$ dari $x$ atau dapat dituliskan dengan $100\%$ (C)

Anggap saja modal Alyna adalah $M$.

• Investasi perkebunan = $\frac{1}{5} M$
• Investasi properti = $\frac{2}{5} M$
• Total Investasi = $\frac{3}{5} M$

Sisa uang Alyna adalah $\frac{2}{5} M$, maka: $\frac{2}{5} M =$ Rp 25 miliar $M = \frac{5}{2} \cdot$ Rp 25 miliar $M =$ Rp 62,5 miliar (D)

9 adalah 150 persen dari ?

Ayo kita lengkapi dulu pernyataan di atas dengan membuat permisalan jadi: 9 adalah 150 persen dari A

Maka, apabila dituliskan dalam bentuk matematis menjadi: $9 = 150\% \cdot A$ $9 = \frac{150}{100} \cdot A$ $9 \cdot \frac{100}{150} = A$ $\frac{900}{150} = A$ $A = 6$ (B)

Untuk mengetahui harga sapi tambahan yang akan dibeli Purwoko, kita harus mencari total uang yang dikeluarkan dan jumlah total sapi yang diinginkan Purwoko.

Jumlah total sapi Berdasarkan soal di atas Purwoko sudah memiliki 75 ekor sapi dan ingin membeli 25 ekor lagi, artinya total sapi yang diinginkan Purwoko adalah 100 ekor.

Total uang yang disediakan Harga rata-rata sapi yang dihendaki (diinginkan) Purwoko untuk 100 ekor sapi tersebut adalah Rp17.400.000 per ekor, maka total uang yang disediakan adalah $100 \times \text{Rp}17.400.000 =$ Rp1.740.000.000

• Pembelian 1: $50 \times \text{Rp}18.000.000 =$ Rp900.000.000
• Pembelian 2: $25 \times \text{Rp}16.800.000 =$ Rp420.000.000
• Pembelian 3: $25 \times \text{Harga } (H) = 25H$

Total Uang = Pembelian 1 + Pembelian 2 + Pembelian 3 $\text{Rp}1.740.000.000 = \text{Rp}900.000.000 + \text{Rp}420.000.000 + 25H$ $\text{Rp}1.740.000.000 = \text{Rp}1.320.000.000 + 25H$ $\text{Rp}1.740.000.000 - \text{Rp}1.320.000.000 = 25H$ $\text{Rp}420.000.000 = 25H$ $25H = \text{Rp}420.000.000$ $H = \frac{\text{Rp}420.000.000}{25}$ $H =$ Rp16.800.000 (E)

Laba merupakan penghasilan lebih dari total jumlah pendapatan (harga beli).

• Harga beli $\rightarrow 100\%$
• Laba $\rightarrow 25\%$
• Maka harga jual $\rightarrow 125\%$

Karena harga jual ($125\%$) adalah Rp80.000,-, maka harga belinya ($100\%$) bisa kita dapatkan dengan perbandingan:

$\frac{125\%}{100\%} = \frac{80.000}{x}$ $\frac{125}{100} = \frac{80.000}{x}$ $\frac{5}{4} = \frac{80.000}{x}$ $5 \cdot x = 4 \cdot 80.000$ $5x = 320.000$ $x = 64.000$

Jadi harga beli barang tersebut adalah Rp64.000,- (B)

$\frac{x}{3} = \frac{20.000}{4.000}$ $x = \frac{20.000 \cdot 3}{4.000}$ $x = 5 \cdot 3$ $x = 15$ butir telur (C)

Cara paling mudah untuk menentukan kuantitas terbesar antara $x$ dan $y$ adalah dengan cara mensubtitusikan $p$ sembarang bilangan positif ke dalam masing-masing fungsi.

Misal $p = 1$

• $x = 3p + 5 \rightarrow x = 3(1) + 5 = 8$
• $y = 2p + 4 \rightarrow y = 2(1) + 4 = 6$

Terbukti bahwa $x > y$ (A)

Coba subtitusikan nilai $p$ yang lain.

Untuk mengerjakan soal ini, kita buat pemisalan yaitu:

• $x$ = mi instan
• $y$ = kental manis

Lalu, kita siapkan model matematikanya, yaitu:

1. $4x + 3y = 10.700$
2. $3x + 5y = 14.900$

Setelah itu, lakukan proses subtitusi persamaan (1) dan (2) $4x + 3y = 10.700$ (kalikan 5) $20x + 15y = 53.500$ $15y = 53.500 - 20x$ ... (1)

$3x + 5y = 14.900$ (kalikan 3) $9x + 15y = 44.700$ $15y = 44.700 - 9x$ ... (2)

Samakan kedua persamaan $15y$: $53.500 - 20x = 44.700 - 9x$ $53.500 - 44.700 = 20x - 9x$ $8.800 = 11x$ $x = 800$

Jadi harga sebungkus mi instan ($x$) adalah Rp800 (B)

Arie mempunyai uang sebanyak setengah dari uang Iswandi, dapat kita tuliskan dengan: $A = 0,5 I$ ... (1)

Iswandi memberikan Rp 5 milyar kepada Arie. $I' = I - 5$ ... (2) $A' = A + 5$ ... (3)

Arie akan mempunyai uang Rp 4 milyar lebih sedikit dari uang terakhir Iswandi. $A' = I' - 4$ ... (4)

Setelah membuat model matematika dari setiap pernyataan, sekarang saatnya kita subtitusikan persamaannya.

Subtitusikan (2) dan (3) ke dalam persamaan (4) $A' = I' - 4$ $A + 5 = (I - 5) - 4$ $A + 5 = I - 9$ ... (5)

Subtitusikan (1) ke dalam (5) $A + 5 = I - 9$ $0,5 I + 5 = I - 9$ $9 + 5 = I - 0,5 I$ $14 = 0,5 I$ $28 = I$

Karena $A = 0,5 I$ dan $I = 28$, maka $A = 14$

Jumlah uang mereka: $A + I = 14 + 28$ $A + I = 42$ milyar (D)

Untuk mengerjakan soal ini, kita buat pemisalan yaitu:

• $x$ = buku
• $y$ = ballpoint

Lalu, kita siapkan model matematikanya, yaitu:

1. $2x + y = 4.000$
2. $3x + 4y = 8.500$

Setelah itu, lakukan proses subtitusi persamaan (1) dan (2) $2x + y = 4.000$ (kalikan 3) $6x + 3y = 12.000$ $6x = 12.000 - 3y$ ... (1)

$3x + 4y = 8.500$ (kalikan 2) $6x + 8y = 17.000$ $6x = 17.000 - 8y$ ... (2)

Samakan kedua persamaan $6x$: $12.000 - 3y = 17.000 - 8y$ $8y - 3y = 17.000 - 12.000$ $5y = 5.000$ $y = 1.000$

Jadi harga satu batang ballpoint ($y$) adalah Rp1.000 (B)

Dalam waktu dua bulan, kita asumsikan ada 60 hari. Uang saku Budi 1 harinya Rp5.000 Terkumpul dalam 60 hari menjadi $60 \times \text{Rp}5.000 =$ Rp300.000

Dengan uang Rp300.000 dan harga mobil-mobilan Rp50.000 per buah, Budi dapat membeli $\text{Rp}300.000 \div \text{Rp}50.000 = 6$ buah.

Karena Budi dalam 2 bulan memiliki 10 buah mobil-mobilan, sementara ia hanya mampu membeli 6 buah, maka kemungkinan yang paling tepat adalah (B) Mobil-mobilan koleksi Budi sebagian merupakan pemberian orang lain.

Kenapa bukan C? Karena kita tidak tahu berapa harga mobil yang lebih murah itu.

Empat tahun yang akan datang seorang ibu akan berusia 3 kali usia anaknya, dapat kita tuliskan dengan: $I + 4 = 3(A + 4)$

Enam tahun yang lalu ibu tersebut berusia 24 tahun lebih tua dari anaknya, dapat kita tuliskan dengan: $I - 6 = (A - 6) + 24$ $I = A + 24$

Setelah model matematika dari setiap pernyataan selesai, selanjutnya adalah subtitusikan persamaannya. $I + 4 = 3(A + 4)$ $I + 4 = 3A + 12$ $I = 3A + 12 - 4$ $I = 3A + 8$

Samakan kedua persamaan $I$: $3A + 8 = A + 24$ $3A - A = 24 - 8$ $2A = 16$ $A = 8$

Maka usia anak sekarang adalah 8 tahun (A)

Naufal berusia 7 tahun lebih tua dari Rizki, model matematikanya adalah: $N = R + 7$

Rizki berusia 2 tahun lebih muda dari Hilmy, memiliki model matematika: $R = H - 2$ $H = R + 2$

Selisih usia Naufal dengan Hilmy adalah: $|N-H| = |(R + 7) - (R + 2)|$ $|N-H| = |R + 7 - R - 2|$ $|N-H| = |5|$

Jadi, selisih usia Naufal dengan Hilmy adalah 5 tahun (C)

Untuk mengerjakan soal "pekerjaan" seperti ini, yang perlu kita ketahui adalah mencari total pekerjaan yang mereka kerjakan.

Enam buruh menyelesaikan "suatu pekerjaan" dalam waktu 4 hari.

Total Pekerjaan = Pekerja $\times$ Hari Total Pekerjaan = $6 \times 4$ Total Pekerjaan = 24

Jika waktu yang diperlukan hanya 1 hari, maka: Total Pekerjaan = Pekerja $\times$ Hari $24 = \text{Pekerja} \times 1$ Pekerja = 24

Jadi total buruh yang dibutuhkan adalah 24 orang (B)

Pertama-tama kita tuliskan dulu masing-masing pernyataan.

• Total siswa = 30
• Siswa suka berenang dan tenis = A

Siswa suka berenang = 27 Siswa suka berenang saja = $27 - A$

Siswa suka tenis = 22 Siswa suka tenis saja = $22 - A$

Total = Renang Saja + Tenis Saja + Keduanya $30 = (27 - A) + (22 - A) + A$ $30 = 27 - A + 22 - A + A$ $30 = 27 - A + 22$ $30 = 49 - A$ $A = 49 - 30$ $A = 19$ siswa

Jadi siswa yang suka berenang dan tenis ada 19 siswa (C)

Pertama kita harus mencari untung bersih dengan cara:

Untung Total = Pendapatan - Modal Untung Total = Rp7.500.000 - Rp6.000.000 Untung Total = Rp1.500.000

Karena untuk satu ekor sapi keuntungannya adalah Rp300.000, maka: Untung Total = Untung per ekor $\times$ Banyak sapi Rp1.500.000 = Rp300.000 $\times$ Banyak sapi Banyak sapi = $\text{Rp}1.500.000 \div \text{Rp}300.000$ Banyak sapi = 5

Jadi, banyaknya sapi yang dibeli atau dijual ada 5 ekor (B)