Penalaran Matematika - Roda Kereta Api

Teks 1 (Untuk soal nomor 1 sampai 4)

Gambar berikut merupakan kereta api yang memiliki roda dengan jari-jari \(\small R_1 = R_2 ≠ R_3 ≠ R_4. \) Terdapat titik \(\small A, \ B \) dan \(\small C \) berturut-turut pada tepi roda dengan jari-jari \(\small R_2, R_3, \) dan \(\small R_4 \).

Soal No. 1

Jika perbandingan antara \(\small R_2 \) dan \(\small R_3 \) adalah 3 : 2. Maka perbandingan banyaknya putaran antara \(\small R_2 \) dan \(\small R_3 \) adalah…
A. 2 : 3
B. 4 : 9
C. 3 : 2
D. 9 : 4
E. 1 : 4

Pembahasan No. 1

Apa yang menghubungkan antara putaran dengan jari-jari roda? Jawabannya adalah KELILING.
Kok bisa? Jadi gini!!

Ketika roda berputar roda akan menempuh jarak tertentu.

Jarak \(\small (s)\) yang ditempuh oleh roda bergantung pada keliling roda \(\small (k)\) dan berapa kali roda berputar \(\small (n)\).
Semakin besar keliling roda \(\small (k)\), semakin besar pula jarak yang ditempuh \(\small (s)\).
Semakin banyak putaran roda \(\small (n)\), semakin besar juga jarak yang ditempuh \(\small (s)\).

Jadi, bisa kita simpulkan bahwa:
jarak \(\small = \) keliling . putaran
\(\ \ \ \ \ \small s\ =\ k \ .\ n \)

Pada kasus soal ini, \(\small R_2\) dan \(\small R_3\) terpasang pada lokomotif kereta api yang sama. Sudah pasti jarak \(\small (s)\) yang ditempuh oleh kedua roda akan sama juga. Yakan?

Berarti, bisa kita tuliskan seperti ini:
\(\ \ \ \ \ \ \ \small s_2 = s_3\)
\(\small k_2\ .\ n_2 = k_3\ .\ n_3\)
\(\ \ \ \ \ \ \large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {k_3}{k_2}\)
\(\ \ \ \ \ \ \large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {2\pi R_3}{2\pi R_2}\)
\(\ \ \ \ \ \ \large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {R_3}{R_2}\) \(\small \rightarrow\) kesimpulan
\(\ \ \ \ \ \ \large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {2}{3}\)

Jadi, perbandingan putaran antarroda adalah kebalikan dari perbandingan jari-jarinya. Jawaban untuk soal ini adalah A. 2 : 3

Soal No. 2

Jika perbandingan antara \(\small R_2 \) dan \(\small R_3 \) adalah 9 : 7. Maka titik A dan B akan bersama kembali saat…
A. \(\small R_2 \) berputar sebanyak 9 kali atau kelipatannya
B. \(\small R_3 \) berputar sebanyak 28 kali atau kelipatannya
C. \(\small R_2 \) berputar sebanyak 21 kali atau kelipatannya
D. \(\small R_2 \) berputar sebanyak 17 kali atau kelipatannya
E. \(\small R_2 \) berputar sebanyak 7 kali atau kelipatannya

Pembahasan No. 2

Pada soal nomor 1, kita sudah menyimpulkan bahwa perbandingan putaran antarroda adalah kebalikan dari perbandingan jari-jarinya.
\(\large \frac {n_a}{n_b}\) \(\small =\) \(\large \frac {R_b}{R_a}\)

Untuk soal ini, karena perbandingan antara \(\small R_2 \) dan \(\small R_3 \) adalah 9 : 7, maka perbandingan putaran antarrodanya adalah:
\(\large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {R_3}{R_2}\)
\(\large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {7}{9}\)

Perbandingan di atas berarti kedua roda akan menempuh jarak yang sama apabila roda 2 berputar sebanyak 7 kali dan roda 3 berputar sebanyak 9 kali atau kelipatannya. Jadi, titik A dan B pada bagian bawah masing-masing roda akan bersama kembali berada di bawah ketika roda 2 sudah melakukan 7 kali putaran roda 3 sudah melakukan 9 kali putaran atau kelipatannya.

Jawaban untuk soal ini adalah E. \(\small R_2 \) berputar sebanyak 7 kali atau kelipatannya

Soal No. 3

Jika perbandingan antara \(\small R_2 ∶ R_3 ∶ R_4 \) = 9 ∶ 7 ∶ 3. Maka titik A, B, C akan bersama kembali saat…
A. \(\small R_2 \) berputar sebanyak 9 kali atau kelipatannya
B. \(\small R_3 \) berputar sebanyak 28 kali atau kelipatannya
C. \(\small R_4 \) berputar sebanyak 30 kali atau kelipatannya
D. \(\small R_2 \) berputar sebanyak 7 kali atau kelipatannya
E. \(\small R_2 \) berputar sebanyak 17 kali atau kelipatannya

Pembahasan No. 3

Karena terdapat perbandingan antar tiga roda, maka kita perlu membandingkan antardua roda terlebih dahulu.
Perbandingan antara \(\small R_2 \ ∶ R_3 \ ∶ R_4 \) = 9 ∶ 7 ∶ 3.

Pertama, perbandingan antara \(\small R_2 \) dan \(\small R_3 \) adalah 9 : 7, maka perbandingan putaran antarrodanya adalah:
\(\large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {R_3}{R_2}\)
\(\large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {7}{9}\)

Kedua, perbandingan antara \(\small R_2 \) dan \(\small R_4 \) adalah 9 : 3, maka perbandingan putaran antarrodanya adalah:
\(\large \frac {n_2}{n_4}\) \(\small =\) \(\large \frac {R_4}{R_2}\)
\(\large \frac {n_2}{n_4}\) \(\small =\) \(\large \frac {3}{9}\)

Ketiga, perbandingan antara \(\small R_3 \) dan \(\small R_4 \) adalah 7 : 3, maka perbandingan putaran antarrodanya adalah:
\(\large \frac {n_3}{n_4}\) \(\small =\) \(\large \frac {R_4}{R_3}\)
\(\large \frac {n_3}{n_4}\) \(\small =\) \(\large \frac {3}{7}\)

Setelah itu, kita gabung ketiga perbandingan di atas.
\(\small n_2 ∶ n_3 \ \ \ \ \ \ \ = \ 7\ ∶ \ 9 \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \times \ 3\)
\(\small n_2 ∶ \ \ \ \ \ \ \ n_4 = \ 3 \ ∶ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 9 \rightarrow \times \ 7\)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ n_3 ∶ n_4 = \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \ ∶ \ 7 \rightarrow \times \ 9\)
\(\small n_2 : n_3 ∶ n_4 = 21 : 27 : 63 \rightarrow \) sederhanakan (bagi 3)
\(\small n_2 : n_3 ∶ n_4 = \ 7\ ∶ \ 9 \ : \ 21 \)

Jadi, sama seperti pembahasan soal nomor 2, titik A, B, dan C pada masing-masing roda akan kembali bersama saat:
Roda 2 sudah melakukan 7 kali putaran atau kelipatannya
Roda 3 sudah melakukan 9 kali putaran atau kelipatannya
Roda 4 sudah melakukan 21 kali putaran atau kelipatannya

Maka, jawaban untuk soal ini adalah D. \(\small R_2 \) berputar sebanyak 7 kali atau kelipatannya

CARA MUDAH!!
Ada satu cara lagi yang lebih mudah, tentu saja ketika kita sudah mempelajari pembahasan di atas.
Caranya adalah....
Pertama, cari KPK ketiga perbandingan tersebut. Karena perbandingan antara \(\small R_2 ∶ R_3 ∶ R_4 \) = 9 ∶ 7 ∶ 3, maka KPKya adalah 63.

Kedua, perbandingan putaran antarroda bisa didapat dengan membagi KPK dengan jari-jari tiap roda.
\(\small n_2 : n_3 ∶ n_4 = (63/9) : (63/7) : (63/3) \)
\(\small n_2 : n_3 ∶ n_4 = 7 : 9 : 21 \)

Soal No. 4

Jika perbandingan antara \(\small R_2 \) dan \(\small R_3 \) adalah 4 : 3 dan \(\small R_2 \) berputar sebanyak 8 kali searah jarum jam. Maka posisi titik B berada di nomor…
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan No. 4

Untuk soal ini, karena perbandingan antara \(\small R_2 \) dan \(\small R_3 \) adalah 4 : 3, maka perbandingan putaran antarrodanya adalah:
\(\large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {R_3}{R_2}\)
\(\large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {3}{4}\)

Apabila \(\small R_2 \) berputar sebanyak 8 kali \(\small (n_2) \), maka \(\small n_3 \) dapat dicari dengan:
\(\ \ \ \ \large \frac {n_2}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {3}{4}\)
\(\ \ \ \ \large \frac {8}{n_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {3}{4}\)
\(\small n_3\ .\ 3 = 8\ .\ 4\)
\(\small n_3\ .\ 3 = 32\)
\(\ \ \ \ \ \ \small n_3 =\) \(\large \frac {32}{3}\) putaran
\(\ \ \ \ \ \ \small n_3 = 10\) \(\large \frac {2}{3}\) putaran

Roda 3 berputar sebanyak 10 putaran lebih 2 per 3 putaran. Selama 10 putaran, titik B akan kembali lagi ke bawah, jadi kita perlu melihat 2 per 3 putaran sisanya.

Supaya mudah, kita konversi satuan putaran menjadi derajat \(\small (^o)\) dengan cara:
Putaran = \(\large \frac {2}{3}\) \(\small \times \ 360^o\)
Putaran = \(\small 240^o\)

Roda terbagi menjadi 12 juring sama besar, jadi masing-masing juring memiliki sudut \(\small 360^o : 12 = 30^o\). Karena putaran roda 3 tersisa \(\small 240^o\), maka titik B akan berputar sejauh \(\small 240^o : 30^o = 8\) juring.

Titik B akan berapa pada posisi D. 4 seperti yang terlihat pada gambar di bawah.

Nah itu lah soal dan pembahasan dari paket soal Penalaran Matematika pada paket soal SNBT – UTBK, semoga kalian paham dan bisa mengerjakan paket soal ini dengan baik.

Jika kalian ingin mencoba hal baru dengan mengerjakan serta mempelajari paket soal lainnya bisa kalian cek Paket Soal Lain.

Apabila ada hal yang ingin disampaikan silakan komentar di kolom komentar di bawah.

Jangan berhenti belajar dan mencoba hal baru, bagikan pembahasan soal dari kami ke teman-temanmu agar mereka juga tahu dan bisa ikut belajar bersama kami.

TERIMA KASIH…

Dukung Kami Yuk

Penalaran Matematika – Roda Kereta Api

Teks 1 (Untuk soal nomor 1 sampai 4)

Soal No. 1

Soal No. 2

Soal No. 3

Soal No. 4

Leave a Reply Cancel reply