Penalaran Matematika - Circular Farming

Teks 1

Pada pertanian melingkar (Circular Farming), tanaman ditanam secara melingkar seperti pada gambar. Pada lingkaran paling luar yaitu \(\small L_1\), tanaman ditanam sepanjang lingkaran dengan radius \(\small R_1\) meter. Petani menyirami tanaman dengan air melalui pipa air yang berputar sesuai dengan arah panah. Pada pipa air terdapat lubang air. Lubang air nomor 1 mengairi tanaman pada lingkaran \(\small L_1\) dengan radius \(\small R_1\), dan seterusnya.

Soal No. 1

Ukuran lubang tiap air sama. Rapat tanaman pada \(\small L_n\) adalah banyaknya tanaman yang ditanam di \(\small L_n\) untuk setiap 1 m. Jika \(\small R_2 : R_5 = 8 : 6\) dan rapat tanaman di \(\small L_2\) sama dengan rapat tanaman di \(\small L_5\). Perbandingan banyaknya tanaman yang ditanam di \(\small R_2\) dan \(\small R_5\) adalah …
A. \(\small 3 : 4 \)
B. \(\small 9 : 16 \)
C. \(\small 4 : 3 \)
D. \(\small 16 : 9 \)
E. \(\small \sqrt{3} : 2 \)

Pembahasan No. 1

Rapat Tanaman \(\small (\rho)\) adalah banyaknya tanaman \(\small (n)\) yang ditanam untuk setiap 1 m. Artinya, jika kita punya 1000 tanaman yang ditanam mengelilingi lahan berbentuk lingkaran sepanjang 100 m, banyaknya tanaman yang ditanam setiap 1 m adalah \(\large \frac{1000}{100}\) \(\small = 10\) tanaman.

Dari pernyataan di atas, kita bisa buat sebuah persamaan, yaitu:
\(\small Rapat\ Tanaman = \frac{Banyak\ Tanaman}{Keliling} \)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \small \rho = \) \(\large \frac{n}{K} \)

Karena rapat tanaman di \(\small L_2\) sama dengan rapat tanaman di \(\small L_5\), maka:
\(\ \ \ \small \rho_2 = \rho_5 \)
\(\large \frac{n_2}{K_2} \) \(\small =\) \(\large \frac{n_5}{K_5} \)
\(\ \large \frac{n_2}{n_5} \) \(\small =\) \(\large \frac{K_2}{K_5} \)
\(\ \large \frac{n_2}{n_5} \) \(\small =\) \(\large \frac{2 \ \pi \ R_2}{2 \ \pi \ R_5} \)
\(\large \ \frac{n_2}{n_5} \) \(\small =\) \(\large \frac{R_2}{R_5} \)
\(\ \large \frac{n_2}{n_5} \) \(\small =\) \(\large \frac{8}{6} \)
\(\ \large \frac{n_2}{n_5} \) \(\small =\) \(\large \frac{4}{3} \)

Jadi, perbandingan banyaknya tanaman yang ditanam di \(\small R_2\) dan \(\small R_5\) adalah adalah C. \(\small 4 : 3 \)

Soal No. 2

Ukuran lubang air sama dan air yang keluar dari tiap lubang memiliki debit yang sama. Jika \(\small R_1 : R_2 : R_3 = 9 : 8 : 6 \), perbandingan banyak air yang diterima di setiap meter tanah pada \(\small L_1\), \(\small L_2\), dan \(\small L_3\) adalah …
A. \(\small 6 : 8 : 9 \)
B. \(\small \frac19 : \frac18 : \frac16 \)
C. \(\small 9 : 8 : 6 \)
D. \(\small 9^2 : 8^2 : 6^2 \)
E. \(\small \sqrt{6} : \sqrt{8} : \sqrt{9} \)

Pembahasan No. 2

Banyak air yang diterima di setiap meter tanah, atau yang kita sebut dengan \(\small (a) \), dapat ditentukan dengan membagi banyak air total \(\small (V) \) dengan keliling dari lingkaran \(\small (K) \). Misal, banyak air yang dibutuhkan untuk mengairi lingkaran adalah 1000 L dan keliling dari lingkaran tersebut adalah 100 m, maka banyak air yang diterima di setiap meter tanah adalah \(\small \frac {1000\ L}{100\ m} = 10 L/m\).

Dari pernyataan di atas, kita bisa buat sebuah persamaan, yaitu:
\(\small a = \) \(\large \frac{V}{K} \) \(\small \rightarrow V = a\ .\ K \)

Karena debit air yang keluar dari tiap lubang sama, maka banyaknya air yang diterima masing-masing lingkaran juga akan sama. Jadi:
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \small V_a = V_b \)
\(\small a_a\ .\ K_a = a_b\ .\ K_b \)
\(\ \ \ \ \ \ \ \large \frac{a_a}{a_b}\) \(\small = \) \(\large \frac{K_b}{K_a}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \large \frac{a_a}{a_b}\) \(\small = \) \(\large \frac{2 \ \pi \ R_b}{2 \ \pi \ R_a}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \large \frac{a_a}{a_b}\) \(\small = \) \(\large \frac{R_b}{R_a}\) \(\small \rightarrow\) Kesimpulan

Jadi, perbandingan banyak air yang diterima di setiap meter tanah adalah kebalikan dari perbandingan jari-jarinya.

Karena terdapat perbandingan antartiga lingkaran, maka kita perlu membandingkan antardua lingkaran terlebih dahulu. Perbandingan antara \(\small R_1 ∶ R_2 ∶ R_3 \) = 9 ∶ 8 ∶ 6.

Pertama, perbandingan antara \(\small R_1 \) dan \(\small R_2 \) adalah 9 : 8, maka perbandingan banyak airnya adalah:
\(\large \frac {a_1}{a_2}\) \(\small =\) \(\large \frac {R_2}{R_1}\)
\(\large \frac {a_1}{a_2}\) \(\small =\) \(\large \frac {8}{9}\)

Kedua, perbandingan antara \(\small R_1 \) dan \(\small R_3 \) adalah 9 : 6, maka perbandingan banyak airnya adalah:
\(\large \frac {a_1}{a_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {R_3}{R_1}\)
\(\large \frac {a_1}{a_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {6}{9}\)

Ketiga, perbandingan antara \(\small R_2 \) dan \(\small R_3 \) adalah 8 : 6, maka perbandingan banyak airnya adalah:
\(\large \frac {a_2}{a_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {R_3}{R_2}\)
\(\large \frac {a_2}{a_3}\) \(\small =\) \(\large \frac {6}{8}\)

Setelah itu, kita gabung ketiga perbandingan di atas.
\(\small a_1 ∶ a_2 \ \ \ \ \ \ \ = \ 8\ ∶ \ 9 \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \times \ 6\)
\(\small a_1 ∶ \ \ \ \ \ \ \ a_3 = \ 6 \ ∶ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 9 \rightarrow \times \ 8\)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ a_2 ∶ a_3 = \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6 \ ∶ \ 8 \rightarrow \times \ 9\)
\(\small a_1 : a_2 ∶ a_3 = 48 : 54 : 72 \rightarrow \) sederhanakan (bagi 6)
\(\small a_1 : a_2 ∶ a_3 = \ 8\ ∶ \ 9 \ : 12 \rightarrow \) agar ada di pilihan (bagi 72)
\(\small a_1 : a_2 ∶ a_3 = \ \frac19 ∶ \ \frac18 : \ \frac16 \)

Maka, jawaban untuk soal ini adalah B. \(\small \frac19 : \frac18 : \frac16 \)

CARA MUDAH!!
Ada beberapa cara yang lebih mudah, tapi tentu saja ketika kita sudah memahami pembahasan di atas.
Caranya adalah begini...
Pertama, kita cari KPK dari tiga perbandingan tersebut. \(\small R_1 ∶ R_2 ∶ R_3 \) = 9 ∶ 8 ∶ 6, maka KPKya adalah 72.

Kedua, perbandingan banyaknya air bisa kita dapatkan dengan membagi KPK dengan jari-jari tiap lahan.
\(\small a_1 : a_2 ∶ a_3 = \frac{72}{9} ∶ \frac{72}{8} : \frac{72}{6} \) sederhanakan (bagi 72)
\(\small a_1 : a_2 ∶ a_3 = \ \frac19 \ : \frac18 \ : \frac16 \)

CARA PALING MUDAH!!
Karena perbandingan banyak air yang diterima di setiap meter tanah adalah kebalikan dari perbandingan jari-jarinya, maka bisa langsung kita tuliskan seperti ini:
\(\small a_1 : a_2 ∶ a_3 = \frac{1}{R_1} ∶ \frac{1}{R_2} : \frac{1}{R_3} \)
\(\small a_1 : a_2 ∶ a_3 = \ \frac19 \ : \ \frac18 \ : \frac16 \)

Soal No. 3

Ukuran tiap lubang air sama dan \(\small R_2 : R_4 : R_6 = 6 : 4 : 2 \). Agar pengairan pada \(\small L_2\), \(\small L_4\), dan \(\small L_6\) merata secara sama, perbandingan debit air yang keluar dari lubang nomor 2, 4, dan 6 adalah …
A. \(\small 3 : 2 : 1 \)
B. \(\small 1 : 2 : 3 \)
C. \(\small \frac13 : \frac12 : 1 \)
D. \(\small 1 : \frac12 : \frac13 \)
E. \(\small 9 : 4 : 1 \)

Pembahasan No. 3

Berdasarkan pembahasan soal nomor 2, banyak air yang diterima di setiap meter tanah \(\small (a) \) dapat ditentukan dengan membagi banyak air total \(\small (V) \) dengan keliling dari lingkaran \(\small (K) \). Karena debit air \(\small (Q) \) yang keluar sebanding dengan banyaknya air yang keluar dan keliling lingkaran sebanding dengan jari-jari lingkaran \(\small (R) \),maka:
\(\small a = \) \(\large \frac{V}{K} \)

\(\small a ≈ \) \(\large \frac{Q}{R} \) \(\small \rightarrow Q ≈ a\ .\ R \)

Berdasarkan soal ini, pengairan pada ketiga lingkaran merata secara sama, artinya banyak air yang diterima di setiap meter tanah oleh masing-masing lingkaran haruslah sama. (Kalimat bercetak tebal memikili arti yang sama)
\(\small a_2 = a_4 = a_6 \), maka:
\(\small Q_2 : Q_4 : Q_6 = a_2\ .\ R_2 : a_4\ .\ R_4 : a_6\ .\ R_6 \)
\(\small Q_2 : Q_4 : Q_6 = R_2 : R_4 : R_6 \)
\(\small Q_2 : Q_4 : Q_6 = 6 : 4 : 2 \)
\(\small Q_2 : Q_4 : Q_6 = 3 : 2 : 1 \)

Jadi, jawaban untuk soal ini adalah A. 3 : 2 : 1

CARA MUDAH!!
Karena \(\small Q ≈ a\ .\ R \) dan \(\small a_2 = a_4 = a_6 \), maka: \(\small Q ≈ R \) atau berbanding lurus.
\(\small Q_2 : Q_4 : Q_6 = R_2 : R_4 : R_6 \)
\(\small Q_2 : Q_4 : Q_6 = 6 : 4 : 2 \)
\(\small Q_2 : Q_4 : Q_6 = 3 : 2 : 1 \)

Soal No. 4

Debit air yang keluar dari lubang sama, yaitu 1 cm³ /detik. Jika \(\small R_5 : R_9 = 5 : 4\), agar tanaman pada \(\small L_5\) dan \(\small L_9\) mendapat penyiraman yang sama atau seragam, ukuran lubang 5 dan lubang 9 diubah sehingga perbandingan jari-jarinya adalah …
A. \(\small 2 : 5 \)
B. \(\small 2 : 3 \)
C. \(\small 2 : \sqrt5 \)
D. \(\small \sqrt5 : 2 \)
E. \(\small 5 : 4 \)

Pembahasan No. 4

Pada soal ini, ada hal yang perlu diperhatikan yaitu perbedaan antara jari-jari lingkaran \(\small (R) \) dengan jari-jari lubang air \(\small (J)\). Kita bedakan simbolnya agar lebih mudah.

Banyaknya penyiraman dapat diartikan juga dengan banyaknya volume yang diterima tanaman. Volume dari air yang diterima tanaman berbanding lurus dengan dua hal, yaitu:
1. Keliling lahan \(\small (K)\)
2. Luas lubang \(\small (A)\)

Maka, dapat dituliskan menjadi \(\small V ≈ K . A\).
Keliling lingkaran \(\small (K)\) berbanding lurus dengan jari-jari lingkaran \(\small (R)\) dan Luas lubang berbanding lurus dengan kuadrat jari-jari lubang \(\small (J^2)\). Jadi:
\(\small V ≈ R . J^2\)

Penyiraman yang didapat \(\small L_5\) dan \(\small L_9\) sama.
\(\small V_5 = V_9\)
\(\small R_5 . (J_5)^2 = R_9 . (J_9)^2\)
\(\small \frac{(J_5)^2}{(J_9)^2} = \frac{R_9}{R_5} \)
\(\small \frac{J_5}{J_9} = \frac{\sqrt{R_9}}{\sqrt{R_5}} \)
\(\small \frac{J_5 }{J_9} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} \)
\(\small \frac{J_5 }{J_9} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)

Jadi jawabannya adalah C.

Nah itu lah soal dan pembahasan dari paket soal Penalaran Matematika pada paket soal SNBT – UTBK, semoga kalian paham dan bisa mengerjakan paket soal ini dengan baik.

Jika kalian ingin mencoba hal baru dengan mengerjakan serta mempelajari paket soal lainnya bisa kalian cek Paket Soal Lain.

Apabila ada hal yang ingin disampaikan silakan komentar di kolom komentar di bawah.

Jangan berhenti belajar dan mencoba hal baru, bagikan pembahasan soal dari kami ke teman-temanmu agar mereka juga tahu dan bisa ikut belajar bersama kami.

TERIMA KASIH…

Dukung Kami Yuk

Penalaran Matematika – Circular Farming

Teks 1

Soal No. 1

Soal No. 2

Soal No. 3

Soal No. 4

Leave a Reply Cancel reply