Pangkat Bulat - UK 3 | Minat Matematika

Operasi aljabar merupakan operasi yang meliputi penjumlahan, perkalian, pembagian dan lain sebagainya. Operasi-operasi ini juga dapat kita lakukan pada bilangan dengan pangkat bulat, sifat-sifat operasi aljabar pada bilangan berpangkat itu sangat mudah untuk diingat loh. Kali ini kita akan membahas pangkat bulat yang dipangkat kembali dan memenuhi sifat-sifat tertentu.

Sifat-sifat operasi aljabar tersebut dapat kita temukan dengan mengerjakan soal-soal Latihan Uji Kompetensi 3 pada sub-bab ini. Berikut adalah pembahasan soal UK 1.1.3 pada sub-bab pangkat bulat yang kami ambil dari buku PKS Matematika Peminatan kelas X oleh Wilson Simangunsong yang bisa kalian baca dan pelajari.

Soal No. 1

\(\small (2^3)^5\ = \ … \)

Pembahasan No. 1

\(\small (2^3)^5 = 2^3 \ . 2^3 \ . 2^3 \ . 2^3 \ . 2^3 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 2^{3+3+3+3+3} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 2^{15} \)

Setelah kita mengerjakan soal nomor 1 di atas, dapat disimpulkan bahwa Jika a adalah bilangan real, m dan n adalah bilangan bulat maka:

\(\large (a^m)^n\ =\ a^{mn} \)

Mari kita lanjutkan soal selanjutnya.

Soal No. 2

\(\small (a^6)^3\ = \ …\)

Pembahasan No. 2

\(\small (a^6)^3 = a^{6 \times 3} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 2^{18} \)

Soal No. 3

\(\small (3^a)^a \ . (3)^{1-a^2}\ = \ …\)

Pembahasan No. 3

\(\small (3^a)^a \ . (3)^{1-a^2} = (3)^{a \times a} \ . (3)^{1-a^2} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (3)^{a^2} \ . (3)^{1-a^2} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (3)^{a^2+1-a^2} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (3)^{1} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 3 \)

Soal No. 4

\(\small 3+(2^3 – 3^2)^2\ = \ …\)

Pembahasan No. 4

\(\small 3+(2^3 - 3^2)^2 = 3+(2 \ . 2 \ . 2 - 3\ . 3)^2 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 3+(4 \ . 2 - 9)^2 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 3+(8 - 9)^2 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 3+(-1)^2 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 3+(-1) \ . (-1) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 3+1 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 4 \)

Soal No. 5

\(\small (3a^2)^4\ = \ …\)

Pembahasan No. 5

\(\small (3a^2)^4 = (3 \ . a^2)^4 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 3^4 \ . a^{2 \times 4} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 3^4 \ . a^8 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 3 \ . 3 \ . 3 \ . 3 \ . a^8 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 9 \ . 3 \ . 3 \ . a^8 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 27 \ . 3 \ . a^8 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 81 \ . a^8 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 81 a^8 \)

Soal No. 6

Jika \(\small x \neq 0\) dan \(\small y \neq 0\) maka \(\small [(x \ . y^a)^{1-a}]^2 \ . [(x \ . y^a)^{a-1}]^2 = \ … \)

Pembahasan No. 6

\(\small [\ (x \ . y^a)^{1-a}\ ]^2 \ . [\ (x \ . y^a)^{a-1}\ ]^2 = (x \ . y^a)^{(1-a) \ . \ 2} \ . (x \ . y^a)^{(a-1) \ . \ 2} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x \ . y^a)^{2-2a} \ . (x \ . y^a)^{2a-2} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^{2-2a} \ . y^{a \ . (2-2a)} \ . x^{2a-2} \ . y^{a \ . (2a-2)} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^{2-2a} \ . y^{2a-2a^2} \ . x^{2a-2} \ . y^{2a^2-2a} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^{2-2a} \ . x^{2a-2} \ . y^{2a-2a^2} \ . y^{2a^2-2a} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^{2-2a+2a-2} \ . y^{2a-2a^2+2a^2-2a} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^{0} \ . y^{0} \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 \ . 1 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 \)

Soal No. 7

Diketahui \(\small 7 {(8^p)}\ =\ 9{(5^q)}\) dan \(\small 7 {(16^{p+1}})\) \(\small = \) \(\small 12{(5^q)} \). Buktikan bahwa \(\small 2^p = \frac 1 {12} \)

Pembahasan No. 7

\(\small 7 (8^p) = 9(5^q) \)
\(\small9(5^q) = 7 (8^p) \)
\(\small \ \ (5^q) = \frac79 (8^p) \)

\(\small 7 (16^{p+1}) = 12(5^q) \)
\(\small 7 (16^{p+1}) = 12 \ \frac79 (8^p) \)
\(\small \ \ (16^{p+1}) = \frac {12}7 \ \frac79 (8^p) \)
\(\small \ \ (16^{p+1}) = \frac{12}9 (8^p) \)
\(\small \ \ 16^p \ . 16 = \frac{12}9 (8^p) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ 16^p = \frac{12}{9 \ . 16} (8^p) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ 16^p = \frac{3}{9 \ . 4} (8^p) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ 16^p = \frac{1}{3 \ . 4} (8^p) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ 16^p = \frac{1}{12} (8^p) \)
\(\small \ \ \ (2 \ . 8)^p = \frac{1}{12} (8^p) \)
\(\small \ \ \ \ 2^p \ . 8^p = \frac{1}{12} (8^p) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2^p = \frac{1}{12} \ ......... terbukti \)

Soal No. 8

Tentukanlah hasil perpangkatan berikut.
a. \(\small {(x+y)^2}) \)
b. \(\small {(x+y)^3} \)
c. \(\small {(x+y)^4} \)
Selidikilah kalian antara koefisien-koefisien yang muncul dengan segitiga Pascal di bawah ini.

Pembahasan No. 8a

\(\small (x+y)^2 = (x+y)(x+y) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x \ . x) + (x \ . y) + (y \ . x) + (y \ . y) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^2 + xy + xy + y^2 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^2 + 2xy + y^2 \)

Pembahasan No. 8b

\(\small (x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = [(x \ . x) + (x \ . y) + (y \ . x) + (y \ . y)] \ (x+y) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = [x^2 + xy + xy + y^2] \ (x+y) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = [x^2 + 2xy + y^2] \ (x+y) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x^2 \ . x)+(x^2 \ . y)+(2xy \ . x)+(2xy \ . y)+(y^2 \ . x)+(y^2 \ . y) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^3 + x^2y + 2x^2y + 2xy^2 + xy^2 + y^3 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)

Pembahasan No. 8c

\(\small (x+y)^4 = (x+y)^2 \ (x+y)^2 \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x^2 + 2xy + y^2) \ (x^2 + 2xy + y^2) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x^2 \ . x^2)+(x^2 \ . 2xy)+(x^2 \ . y^2)+(2xy \ . x^2)+(2xy \ . 2xy)+(2xy \ . y^2)+(y^2 \ . x^2)+(y^2 \ . 2xy)+(y^2 \ . y^2) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x^4)+(2x^3y)+(x^2y^2)+(2x^3y)+(4x^2y^2)+(2xy^3)+(x^2y^2)+(2xy^3)+(y^4) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x^4)+(2x^3y)+(2x^3y)+(x^2y^2)+(4x^2y^2)+(x^2y^2)+(2xy^3)+(2xy^3)+(y^4) \)
\(\small \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 \)

Ternyata jika kita perhatikan koefisien-koefisien pada jawaban nomor 8 a sampai c kita mendapatkan kecocokan dengan angka-angka pada segitiga Pascal. Ketika \(\small (x+y)\) dipangkatkan 2, hasilnya akan memiliki koeifisien yang cocok dengan angka pada segitiga Pascal urutan ke-3.

Begitupun dengan \(\small (x+y)\) yang dipangkatkan 4, hasilnya memiliki koefisien yang cocok dengan angka pada segitiga Pascal urutan ke-5.

Artinya jika kita mencari hasil dari \(\small (x+y)^{10}\) , maka koefisienya akan cocok dengan angka pada segitiga Pascal urutan ke-11, gak percaya? Silakan coba.

Itu dia pembahasan soal Latihan Uji Kompetensi 3 atau UK 1.1.3 pada sub-bab pangkat bulat yang kami ambil dari buku PKS Matematika Peminatan kelas X oleh Wilson Simangunsong.

Untuk pembahasan soal lainnya bisa kalian cek di Paket Soal Lain.

Apabila ada hal yang ingin disampaikan silakan komentar di kolom komentar di bawah.

Jangan berhenti belajar dan mencoba hal baru, bagikan pembahasan soal dari kami ke teman-temanmu agar mereka juga tahu dan bisa ikut belajar bersama kami.

TERIMA KASIH…

Pangkat Bulat – UK 3